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4.1.1 ECUACIÓN DE BERNOULLI

Todos los fenómenos físicos están sometidos a la ley de conservación de la energía, bajo este precepto un fluido en un conducto está sometido a esta ley. Supóngase ahora un flujo en condiciones estables, no hay generadores de calor ni trabajo a su alrededor; bajo estos preceptos su energía total, compuesta por la energía cinética, energía potencial e interna cumplen que:
Ecuación 4.1.1a
Donde,
E_k = energía cinética
E_u = energía interna
E_z = energia potencial
El principio de Bernoulli se basa en este precepto y, asumiendo un flujo másico constante, indica que; en un conducto sin pérdidas por fricción y aislado de cualquier generador de calor o trabajo; un flujo estable se comporta bajo la ecuación:
Ecuación 4.1.1b
Donde,
v = velocidad puntual (local), m/s
p = presión absoluta, Pa (N/m^2)
ρ = densidad, kg/m^3
g = aceleración gravitacional, m/s^2
z = altura, m
Asumiendo que la densidad es constante durante toda la trayectoria del conducto, la ecuación se puede simplificar a:
Ecuación 4.1.1c
Si asumimos un estado 1 y 2 en un conducto real en donde no hay cambios de temperatura, y por tanto no hay cambios de densidad; el cambio en el valor de energía es debido a la caída de presión del conducto, por lo tanto:
Ecuación 4.1.1d
Donde,
v = velocidad media del conducto, m/s
Δp_t,1-2 = caída de presión debida a pérdidas dinámicas y de fricción entre el estado 1 y 2 del conducto

El cambio en el uso de la velocidad local por la media es para simplificar los cálculos de las pérdidas de los conductos.

La presión absoluta es la suma de la presión atmosférica y la presión manométrica en cada estado, entonces:

Ecuación 4.1.1e
Donde,
p_zi = presión atmosférica del aire en la altura del estado i, Pa
p_s,i = presión manométrica del aire en el estado i, Pa
Para los estados 1 y 2 la presión atmosférica se puede calcular mediante:
Ecuación 4.1.1f
Ecuación 4.1.1g
Donde,
p_a = presión atmosférica del lugar, Pa
ρ_a = densidad del aire en el lugar
Sustituyendo la ecuación 4.1.1e en la ecuación 4.1.1d, y multiplicando todos los factores por la densidad del aire en el
conducto se tiene que:
Ecuación 4.1.1h
Sustituyendo los valores p_z1 y p_z2 por los de las ecuaciones 4.1.1f y 4.1.1g se tiene que:
Ecuación 4.1.1i
Agrupando se tiene que:
Ecuación 4.1.1j
Esta ecuación expresa que la caída de presión de un conducto es debida a la suma de tres caídas: una caída dinámica debida al cambio de velocidad del flujo, una caída estática debida al cambio de presión manométrica del conducto y otra caída gravitacional debida al cambio de altura y densidad del conducto.

CABEZA Y PRESIÓN

En las ecuaciones previamente desarrolladas se puede ver que se trabajó con unidades de presión, sin embargo, en conductos de aire es muy frecuente no utilizar el valor de presión manométrica del conducto sino la elevación a la que puede llegar el flujo de aire bajo ese flujo, y equivale simplemente al valor de presión dividido sobre el peso específico del aire en ese estado. Pueden ser idénticas si el punto de referencia es el mismo, pero en conductos de aire uno puede estar en Cartagena y tener la misma elevación que en Bogotá sin que esto signifique que tengan la misma presión. Cuando un valor de presión de un flujo es dado por la elevación del mismo se dice que el valor es la cabeza del mismo.

Cabeza estática y dinámica

En la ecuación 4.1.1j se encontraron datos de caída dinámica y estática estos valores también se pueden dar en términos de cabeza utilizando el concepto previamente mencionado, de manera que la cabeza estática de un conducto está dada por:
Ecuación 4.1.2.1a
Mientras que la cabeza dinámica de un conducto está dada por:
Ecuación 4.1.2.1b
Donde V es la velocidad media del flujo de aire y es dada por:
Ecuación 4.1.2.1c

4.1.2.2 Cabeza y presión total

La cabeza total es la suma de la cabeza dinámica y cabeza estática de un flujo de aire. Análogamente, la presión total es la suma de la presión dinámica y estática del mismo. De manera que:
Ecuación 4.1.2.2a
Ecuación 4.1.2.2b
La diferencia entre el estado 1 y 2 de la presión total es por tanto:
Ecuación 4.1.2.2c
Ecuación 4.1.2.2d

4.1.3 EFECTO DE GRAVEDAD TÉRMICA (EFECTO CHIMENEA)

Ya conocida la presión total, se tiene un término en la ecuación 4.1.2.2d que aún no se ha revisado, este dato se conoce como efecto de gravedad térmica, o efecto chimenea y solo ocurre cuando el ducto tiene un diferencial de altura y a su vez la densidad del flujo es diferente a la del aire del ambiente. En algunos casos este valor puede ser supremamente pequeño y puede descartarse, pero en otras situaciones es considerable y debe tenerse en cuenta. En todo caso el efecto chimenea existe y su valor equivale a:
Ecuación 4.1.3a
Con esto la ecuación 4.1.2.2d queda reducida a:
Ecuación 4.1.3b
Supongamos que tenemos un conducto vertical ascendente (z_1-z_2 < 0) con aire muy caliente frente al aire en el ambiente, al aumentar la temperatura la densidad del aire disminuye y por tanto el efecto de gravedad térmica tendrá un valor positivo. Ahora, si tenemos el mismo conducto, pero con una temperatura muy fría frente al aire en el ambiente, la densidad del aire aumenta y el valor del efecto de gravedad térmica es negativo.

4.1.4 FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO

En mecánica de fluidos, un flujo se puede clasificar en dos regímenes: laminar y turbulento.

Un flujo laminar es aquel que sigue un patrón de trayectoria debido al dominio de las fuerzas viscosas que tiene el fluido, esto permite simularlo como un conjunto de planos los cuales no se cruzan entre ellos y que interactúan mediante fuerzas de fricción el uno con respecto al otro.

El otro régimen es el turbulento, y en este caso el movimiento del flujo es supremamente errático debido al dominio de las fuerzas inerciales que generan trayectorias sin ningún tipo de patrón y hace muy difícil simular su comportamiento.

Para saber cuál régimen está siguiendo un flujo se utiliza el número de Reynolds, y cuyo valor es adimensional y equivalente a:

Ecuación 4.1.4a
Donde,
ρ = densidad del fluído, en kg/m^3
v = velocidad media del flujo, en m/s
L = valor linear del recorrido del flujo, en m
μ = viscosidad absoluta del fluido, en kg/(m.s)
Para cálculos en conductos, el número de Reynolds se calcula mediante la ecuación:

Ecuación 4.1.4b

Donde,
D_h = diámetro hidráulico, en m
ν = viscosidad cinemática, en m^2/s
El diámetro hidráulico es un valor tomado para comparar conductos con distintas formas, ya sea cuadrado, ovalar o
rectangular. El diámetro hidráulico es igual a:
Ecuación 4.1.4c
Donde,
A = área de la sección interna del conducto, en m^2
P = perímetro de la sección interna del conducto, en m
Cuando el número de Reynolds es inferior a 2000, el flujo es laminar; de 2000 a 4000 su valor está en proceso de transición, parte se comporta como laminar, parte como turbulento; y cuando el valor es superior a 4000 el flujo es probablemente turbulento. En todos los casos el valor no nos da un precisión absoluta de las condiciones del flujo, simplemente nos permite clasificarlo de manera cualitativa.

4.1.5 DISTRIBUCIÓN DE LA VELOCIDAD

Durante un flujo laminar, idealmente se busca que el aire se comporte de manera laminar, bajo estas condiciones podemos asumir que:
  • La velocidad en la pared del conducto es cero.
  • El flujo mantiene una velocidad constante durante el recorrido.
  • La presión en una sección del conducto es igual en todos los puntos de esta.
  • La presión a lo largo del conducto varía generando una reducción de presión Δp.
  • Existe una fuerza de corte T en función del radio del conducto.
Supongamos que revisamos una sección diferencial del conducto, tal como se muestra en la figura 4.1.5a

Figura 4.1.5a

Bajo estas condiciones, la segunda ley de Newton dice que:
Ecuación 4.1.5a
Y resolviendo se tiene que:
Ecuación 4.1.5b

Esto quiere decir que la fuerza de corte del conducto será cero en el centro del conducto y variará de una manera linear con respecto al radio del cilindro. Además, si la diferencia entre la longitud y el radio del conducto es muy grande, la fuerza de corte será mucho más pequeña.

Utilizando la ecuación 1.12.1 y reemplazando el eje y por r, se tiene que:

Ecuación 4.1.5c
Solucionando se encuentra que:
Ecuación 4.1.5d
Donde c_0 es la velocidad en el centro del conducto, en m/s. La velocidad cuando r = R es cero, por lo tanto,
Ecuación 4.1.5e
Resolviendo se tiene que:
Ecuación 4.1.5f
Despejando la ecuación 4.1.5f en 4.1.5d:
Ecuación 1.12.2
Esto quiere decir que la distribución de velocidad en un conducto circular de flujo laminar es una parábola en donde el valor máximo está en el centro del conducto en donde la fuerza de corte es cero y va decreciendo, aumentando la fuerza de corte y disminuyendo la velocidad hasta la pared en donde esta llega a cero y la fuerza de corte llega a su valor máximo. Para ver mejor este comportamiento, observe la figura 4.1.5b.

Figura 4.1.5b

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[2] WANG Shan K. Handbook of air conditioning and refrigeration. New York: MCGROW HILL, 2001. 1400 p. ISBN 0-07-068167-8
[3] CARRIER INTERNATIONAL LTD. Manual de aire acondicionado. Barcelona: MARCOMBO S.A., 2009. 576 p. ISBN 978-84-267-1499-2
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